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2015年 自治医科大学医学部 数学 過去問 解説

解答方式

時間

大問数

難易度

マーク

80分

25問

標準

 

■設問別分析

大問

区分

内容

難易度

1

数Ⅱ

次数が最も大きい項と定数項に着目して,さらに1次の項に着目して因数分解をするといい.

2

数Ⅱ

条件からaとbの関係式を出せるので,これを用いて1文字だけで表せられたら相加相乗平均の関係と気づく.

3 数Ⅱ { 3 }^{ x }+{ 3 }^{ -x }で表すと2次関数となる.しかし平方完成より微分するといい.
4 数Ⅰ 式の値を求める.代入するときは整理して代入すること。
5 数A 分母を払って積の形へ変形する.整数解の個数を求めるので,対応を考えると良い。
6 数Ⅰ { c }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ x }^{ 2 }の係数は同じなので交点のx座標は2接点の中点である.2次関数である特徴を上手に使うこと.
7 数Ⅰ ブラーマグプタの公式を用いると良い.1辺の長さを0としたものがヘロンの公式と呼ばれる
8 数B A, Bはxy平面に対してどちらも正領域なので,どちらかを折り返して2点間距離を導くといい.
9 数Ⅱ 円と直線の問題なので初等幾何を計算に反映させる.特に1:2:\sqrt { 3 } の三角形を用いて求めるとよい. 標準
10 数Ⅲ 楕円上の点はパラメータを用いるかx、yのまま求めるかで計算量が大きく異なる場合がある.本問は前者.
11 数B 等差数列は項数に関する一次式から直線上の離散点と見なす.あとは計算をするといい.
12 数Ⅲ { a }_{ n }の係数が\frac { 1 }{ 3 } なので極限においては分母のnで0へ収束する.従って特性解が本問の解そのものとなるとわかる.
13 数B 等比数列の条件から次数が2次となるので,条件を満たすものに気をつけて計算する.
14 数B 表記はベクトルだが各平面に着目すると三角比を用いて計算できる.さらに余弦定理を用いず三平方の定理でも解ける.
15 数B 大きさは2乗して計算すると良い.tに関する2次関数となるので,平方完成か微分する.
16 数B 始点を頂点Aでなく頂点Cに代えるとベクトルCAの比でわかる.無用な変形は避けること.
17 数A 9個の玉を取り出した時の状態を考えるより,全ての玉を並べると言い換えてみれば単純な計算と理解しやすい. 標準
18 数A 重複組合せ問題.nの値を絞る際の不等式は185と大きい数を対象とするので2乗して185となる数で目安をつける.群数列にもよく用いられるものである.
19 数B 2円の交点の絡む問いなので変数を偏角で置くか動径の長さで置くか選ぶといい.本問では比の値を求めるのでa=1などと自分で定めても一般性を失わない. 標準
20 数Ⅲ 不定形の形を解決していこう.基本的な数列の極限.
21 数Ⅲ tに関しては2次関数なので積分計算の後は平方完成するかtについて微分するといい.求める値は整数部分に注意.
22 数Ⅲ y=\frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } } のグラフの拡張したもの.極大値と極小値は必ず存在するので,極大値が2となる値を求めるとよい.分母の方が次数の大きい分数関数の微分計算はきつめになる.
23 数Ⅲ 3実数によるサイクリック構造の式なので基本対称式と解と係数の関係を用いて与3次方程式を,kを用いて表わそう.8マスの原理で答えはすぐに出る.
24 数Ⅲ 三角関数で偶数上であれば1乗を分けることで合成関数へ持ち込むのが定石である.基礎解析の問題で漸化式を覚えている受験生は代入するだけで終わる.
25 数Ⅱ f\left( x \right)の各項は変数を含まない定積分なので実数で置ける.これを再帰的に用いて計算すると良い.特別な工夫は考えず淡々と計算する.

■傾向と対策:図形と方程式やベクトルなど,着想の差が出る問題が出題される.

1問にかけられる時間は平均3分強だが,定義の理解の度合いで生じる着想の差や,定理や公式など知識の差から,1問にかかる時間と正確さは偏りが出てくると考えられる.ミスなく満点を狙いに行きたい.過去問をただ解くだけでなく本質を理解するよう復習することが大切となる.