連載｜京都大学入試問題 答案の分かれ目〜京大医学部合格に向けて

京大数学2026 理系第1問 解説｜共有点2個を決める極値と端点

対象：2026年度 京都大学 一般選抜（前期日程）数学（理系）第1問（30点）／分野：数学Ⅲ・微分法／対数関数／共有点の個数と領域の図示
最終更新：2026年11月5日｜執筆・編集：PMD医学部専門予備校 講師チーム｜監修：岩崎 陽一（株式会社アクト 代表取締役）

増減表が作れたのに、最後の範囲が合わない。2026年度京大理系数学第1問では、定義域の端で関数がどの値へ近づくかまで見て、共有点の個数を確定する必要があります。今回の分かれ目は、極値と、含まれない端点の値を区別して数えることです。

連載「答案の分かれ目」では、解説を読んで分かる段階から、自分で根拠のある答案を書ける段階へ進むために、同じ問題の二つの答案を比べます。京大医学科を目指す受験生に向け、京都大学が公表している出題意図・配点から読み取れる評価の観点、本番での判断、次の演習で変えることまで整理します。

1．問題の設定と、本番での位置づけ

結論：典型的な「定数分離」の問題ですが、aによる場合分け、端点の極限、境界を除いた領域の図示まで書き切って完答したい1題です。

aは1より大きい実数、kは実数です。0<x<1で定義された f(x)＝1/{x²(log(a/x))²} について、y＝f(x)とy＝kのグラフの共有点がちょうど2個存在するような実数の組(a, k)の集合を、座標平面上に図示する問題です。logは自然対数で、lim_x→+0 x log x＝0 は証明なしに用いてよいと問題文に明記されています。配点は30点です（数学（理系）は全6題・200点満点）。

分母をそのまま微分しても解けますが、g(x)＝x log(a/x)と置くと見通しがよくなります。0<x<1ではa/x>1なのでg(x)>0であり、f＝1/g²です。正の数に対して「2乗して逆数をとる」対応は単調減少なので、gの山はfの谷に対応します。

教育機関の分析・実際に解いた人の見方から補う

教育機関の担当者による分析：Ｚ会の大学受験担当者は第1問を［標準］とし、定数分離の典型問題である一方、f(x)の逆数（さらには平方根）で考えればよいと気づかないと処理量が多くなると指摘しています。［Ｚ会京大受験対策サイト］

解答者本人の分析（高校数学教員と自己紹介）：高校で数学を教えていると自己紹介する解答者は、第1問について、方針を立てやすい一方、計算ミスへの注意が必要だったと振り返っています。［大学入試数学の背景にあるもの］

PMDとしての学習へのつなぎ方：解法の入口が見える問題でも、条件を詰める作業は残ります。PMDでは、微分が終わった時点を「解けた」とせず、個数と境界を説明できたところまでを完成と考えます。

2．比較の準備｜どこまで進めた答案か

結論：以下の比較答案は、g(x)＝x log(a/x)を置き、g′(x)＝log(a/x)−1、候補x＝a/eまで出せた段階を想定しています。差を見るのは微分計算の巧拙ではなく、その停留点が定義域に入る条件と、左右の枝の値域です。

3．答案A｜成立している部分と、足りない説明

結論：微分は進められていますが、極値の位置と右端の値域を確認していません。

二つの確認が抜けています。まず、a/eが定義域0<x<1の中にあるのは1<a<eのときだけです。次に、右側の枝はx＝1の手前までしか延びません。最小値より上にある水平線でも、右の枝の到達範囲を超えれば共有点は1個です。また「k>e²/a²なら2個」は十分条件の主張としても誤りで、出題意図が重視する必要十分の対応になっていません。

4．答案B｜根拠を補って、結論までつなぐ

結論：極値の位置と、含まれない端点の極限をそろえることで、共有点を正しく数えられます。

5．設問の解答・解説と図示

結論：増減の計算、aによる場合分け、端点の極限、個数の判定、図示の順に進めます。

解答・解説①｜定義域に極値が入るか

g′(x)＝log(a/x)−1、g″(x)＝−1/x<0です。g′(x)＝0の解はx＝a/e。ここでaの値により場合を分けます。

a≧eのとき：0<x<1ではa/x>a≧eよりlog(a/x)>1なので、g′(x)>0。gは単調増加、fは単調減少です。したがって共有点は1個以下で、2個になることはありません。a＝eの停留点はx＝1であり、定義域に含まれません。

1<a<eのとき：0<a/e<1なので、gはx＝a/eまで増加し、その後減少します。fは逆に減少後に増加します。g(a/e)＝(a/e)·log e＝a/eから、fの最小値はf(a/e)＝e²/a²です。

解答・解説②｜端点の極限から個数を確定する

g(x)＝x log a−x log xと書けるので、問題文で使ってよいとされたlim_x→+0 x log x＝0より、x→+0でg(x)→+0、したがってf(x)→+∞です（答案では、この事実をここで使ったと明記します）。一方、x→1−ではg(x)→log a>0なので、f(x)→1/(log a)²です。

右側の枝（a/e<x<1）は連続かつ単調増加なので、その値域は開区間(e²/a², 1/(log a)²)です。左側の枝（0<x<a/e）は単調減少で、最小点を除けば(e²/a², +∞)のすべての値を1回ずつとります。二つの値域が重なる高さだけに、共有点が2個あります。

上の境界が下の境界より大きいことも確かめておきます。φ(a)＝a/e−log aとおくとφ(e)＝0、φ′(a)＝1/e−1/a<0（1<a<e）なので、この区間でφ(a)>0です。ゆえに0<log a<a/eとなり、逆数の2乗を取ると e²/a²<1/(log a)² です。

図示するときの注意

aを横軸、kを縦軸に取り、下側にk＝e²/a²、上側にk＝1/(log a)²を描きます。a→1+で下側はe²へ、上側は+∞へ近づくので、上側の境界は直線a＝1を漸近線にもちます。

a→e−では両方とも1へ近づきます。さらに微分すると、(e²/a²)′＝−2e²/a³、(1/(log a)²)′＝−2/{a(log a)³}で、a＝eではどちらも−2/eになります。つまり2曲線は点(e, 1)で接し、領域は右端で細く尖って閉じます。点(e, 1)は含みません。式だけ書いて図示を終えないようにしてください。

特にk＝1/(log a)²の水平線は、右端x＝1を解として数えられません。「グラフが近づく」ことと「定義域内で値をとる」ことの違いが、上の不等号を決めています。

6．京大の採点で見られること｜公表資料からわかる範囲

結論：採点基準は非公表です。ただし出題意図・問題文・問題冊子の注意事項から、「何を答案に書けば評価の対象になるか」はかなり具体的に読み取れます。

京都大学は、答案の採点基準や部分点の配分を公表していません。公表されているのは、各科目の出題意図、問題冊子に記載された満点・配点、学部ごとの配点（募集要項・選抜要項）です。また「解答又は解答例等及び出題意図」では、解答例等を示した場合でも1つの解答例であり、これに限らないこと、質問や問い合わせには対応しないことが明記されています。そこで本節では、公表資料に書かれている観点を本問に当てはめ、答案で何を示せばよいかを整理します。部分点の点数は推定しません。

部分点がどの段階で何点になるかは公表されていません。そのため本稿では点数を推定しません。答えの領域が合っていることに加え、出題意図が示す「道筋」と「必要十分」を答案上で確認できる形にしておくことが、公表資料に沿った準備です。数学の記述答案の点検方法は、難関大学医学部の数学記述答案対策でも整理しています。

京大医学科の配点の中での位置

7．本番の時間配分と、途中答案の残し方

結論：最初に分母の正値性と補助関数を確認し、計算の後にaの範囲を分けます。終盤の数分は式変形のやり直しではなく、kが極小値と等しい場合、右端の極限と等しい場合、a＝eの場合の確認へ回します。

途中で時間が来ても、導関数、停留点が定義域に入る条件、両端の極限を、成立している範囲で解答用ページに残します。部分点の配点は公表されていませんが、どこまで論証できたかは読み手に伝わります。独創的な発想でも、定義域や論理の条件を満たす必要があります。

8．京大医学科を目指すなら、どこまで完成させたいか

結論：完答を目標に、aによる場合分け、端点の極限、境界を除いた領域まで書き切る。

ほかの大問を含む2026年度京大医学部の科目別分析は、京都大学医学部 科目別の入試傾向と対策にまとめています。

9．個別指導では、誤答から何を確認するか

結論：正答・誤答だけで終えず、知識、条件整理、立式、表現のどこを直すかを本人の答案から決めます。

極値まで出せるのに結論を誤る答案には、異なる高さの水平線を順に描いてもらい、各交点が定義域内にあるかを確認します。場合分けを忘れる答案には、a＝2とa＝3で停留点a/eの位置（定義域の内か外か）を比較する課題が有効です。

コーチングでは「グラフ問題を何題解くか」だけでなく、「定義域・端点・極値の三点を毎回確認する」という本人の行動まで決めます。解説を閉じた後、条件の上限と下限の理由を別々に説明できるかを点検します。

10．次の答案で変えること

結論：増減を調べた後に、定義域の両端で何が起こるかを確認する。

• a＝2とa＝3で、停留点の位置がどう違うか説明する。
• kが極小値と等しい場合と、右端の極限と等しい場合を別々に数える。
• 図の境界と白丸の意味を、式の不等号へ対応させる。
• 問題文で「証明なしに用いてよい」とされた事実を、どこで使ったか答案に書く。

答案を書き直すときの順序

補助関数の正値性、微分、aによる場合分け、端点の極限、共有点の個数、領域の図示の順で書き直します。微分計算だけを反復するより、どの情報が不等号の上限・下限を決めるのかを対応づけることが、本問の復習になります。

11．よくある質問

結論：本問を解き直す前に、次の疑問を確認してください。

参考資料・情報源の位置づけ

• 京都大学「令和8年度『試験問題』及び『解答又は解答例等及び出題意図』」
• 京都大学 数学（理系）問題冊子（第1問・30点、200点満点）
• 京都大学 数学（理系）解答又は解答例等及び出題意図（第1問は出題意図のみ公表）
• 京都大学「令和8年度 入学者選抜要項」（医学部医学科の配点・面接）
• 京都大学「一般選抜出願状況と選考結果」

• Ｚ会「2026年度『京大理系数学』徹底分析 傾向と対策」
  教育機関の担当者による入試分析。参照箇所は本記事第1節に要約。確認日：2026年11月5日。
• 大学入試数学の背景にあるもの「京都大学理系2026数学解いてみた」（2026年3月2日）
  解答者本人の分析（高校数学教員と自己紹介）。参照箇所は本記事第1節に要約。確認日：2026年11月5日。

大学公表の出題意図・配点と、本稿の独自解答・説明を区別しています。解答者の経歴・感想は投稿者の自己申告によるもので、受験者全体の傾向や医学科合格者の基準へ一般化していません。