九州大学医学部│数学の傾向と対策

大問数5題・150分・全問記述式。出題範囲は数学Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、A、B（数列、ベクトル）の全て。微・積分法、確率、ベクトル、整数の性質、複素数平面が頻出。例年、問題には小問が設定されていることが多く、小問の誘導で最終的な結論に導かれるタイプの問題が多いことが特徴である。2019・2020年度ではその傾向は弱まっていたが、2021・2022・2023年度では全大問で小問が設定されている。証明問題は2020年度は出題が無かったものの、2021～2023年度は出題されている。難易度の高い問題が出題された年度もあったが、近年は概ね標準レベルの問題が中心である。

このようなことから、九州大学の問題は、小問が巧みに配置され最終的な結論に結び付けられる為、解答に詰まったときに、小問による誘導からの解答の流れを考えてみることで方針が立つこともある。普段から、小問をただ一つ一つ個別に処理していくのではなく、大問全体を見渡し、その中での各小問の役割を意識しながら問題演習に取り組もう。かなりの計算力を要する問題が出題されることもある為、普段から粘り強く計算する習慣をつけておきたい。証明問題もよく出題されていることから、結論から逆にたどり、スタートの仮定の条件から道筋をつなげることを意識すると考えがまとまりやすい。解答スペースが十分にあることから、大学が論理的にしっかりした答案を要求していることがうかがえる。2019・2021・2022年度には図示問題も出題されていることから、題意に沿った的確な図を描いて考える練習をしておきたい。一見、数式だけで解く問題のようでも、それを図形的な問題に置き換えてみることで問題の核心が見えてくることは多い。

整数の性質は頻出分野である。

（１）ド・モアブルの定理を利用する。（２）三角関数の加法定理により求める。（３）和積の公式を利用しcos x。を整数になる定角にする。

特に(3)については二つの面積に関するグラフを記述することでも解答が可能だが、増減表やグラフの記述を丁寧にやってしまうと、時間内に収められない。関数の単調性に注目し、中間値の定理を利用してシンプルな記述に収めたい。

安易に樹形図でのパターン分析を行うと解答に窮する。

(2)の誘導にあるように、偶数回目と奇数回目で赤の個数を分類すると、偶数回目→赤：２or０　奇数回目→赤：１or３の二通りに絞られることを手がかりに進めると一般化が用意である。また、球の総数が3個に限定されていることから、３－赤の球の数が青の球の数となるため、実質青の球の数は考えなくても良いことも、解答をシンプルにするために重要。

(2)についてはA⇒Bの命題ではないため、背理法を素直に用いる。「互いに素でない」の同値な言い換えは「共通の因数を持つ」であるから2n+1=pa,2n-1=pbなどのように置き換え、矛盾を示す。

(3)については(1)の偶数条件をうまくつかい、pが偶数のとき（条件からp=2のとき）と奇数の時に分けて証明をスタートする。Pが奇数条件のときに(2)の式の形が出てくるので、互いに素の条件をもとに場合分けを絞っていくことになる。うまく誘導にのらなければどこからスタートするべきかわからない問題になる。

全問記述式であり、証明問題が好んで出題されている。計算が複雑になるものも多く、正確かつ迅速な計算力を身に付けなくてはならない。難しい問題も含まれているため、レベルが高めの問題集もしっかりと仕上げておきたい。